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Verläuft der Graph der Funktion f an der Stelle xE lokal parallel zur x-Achse, so sprechen wir von einer Extrem- oder Sattelstelle.

 

 Notwendig für den x-Achsen-parallelen Verlauf des Graphen ist, dass eine Nullstelle der ersten Ableitung von f vorliegt: f'( x) = 0.

 

Hinreichend für ein Extremum ist, wenn sich das Krümmungsverhalten des Graphen in E( xE | f( xE )) nicht ändert, also muss zusätzlich gelten f''( xE ) ≠ 0.

 

Weil es Ausnahmen beim hinreichenden Kriterium gibt, gilt folgende Bedingung:

xE ist Extremstelle ⇐ f'( xE ) = 0 ∧  f''( xE ) ≠ 0.

Das Zeichen "⇐" lesen wir: "... unter der Voraussetzung, dass ...".

Ist f''( xE ) < 0, dann liegt eine Maximalstelle vor. Der zugehörige Punkt heißt Hochpunkt.

Ist f''( xE ) > 0, dann liegt eine Minimalstelle vor. Der zugehörige Punkt heißt Tiefpunkt.

 

Eine Sattelstelle liegt vor, wenn xE gleichzeitig eine Wendestelle ist, also  f''( xE ) = 0 oder

xE ist Sattelstelle ⇐ f'( xE ) = 0 ∧  f''( xE ) = 0 ∧  f'''( xE ) ≠ 0. 

Statt "Sattelstelle" ist auch der Begriff "Terrassenstelle" gebräuchlich. Der zugehörige Punkt heißt "Sattelpunkt" bzw. "Terrassenpunkt".

 

Beispiel (H ist Hochpunkt, T ist Tiefpunkt und S ist Sattelpunkt):

 

 

 

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